已知a>b>c,求证a^2b+b^2c+c^2a>ab^2+bc^2+ca^2

a^2b+b^2c+c^2a-ab^2-bc^2-ca^2
=a^2(b-c)+a(c^2-b^2)+bc(b-c)
=a^2(b-c)-(ab+ac)(b-c)+bc(b-c)
=(b-c)(a^2-ac-ab+bc)
=(b-c)[a(a-c)-b(a-c)]
=(b-c)(a-b)(a-c)
因为a>b>c，
所以b-c>0, a-b>0, a-c>0,
所以(b-c)(a-b)(a-c)>0,
即a^2b+b^2c+c^2a-ab^2-bc^2-ca^2>0,
所以a^2b+b^2c+c^2a>ab^2+bc^2+ca^2

a^2b+b^2c+c^2a-(ab^2+bc^2+ca^2)
=a^2b+b^2c+c^2a-ab^2-bc^2-ca^2
=b^2(c-a)+a^2(b-c)+c^2(a-b)
a>b>c
所以
c-a>0,b-c>0,a-b>0
所以
b^2(c-a)+a^2(b-c)+c^2(a-b)>0
就是
a^2b+b^2c+c^2a>ab^2+bc^2+ca^2